Question

11．已知函数f（x）=sinx-2cosx，当x=α时f（x）取得最大值，则cosα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=α时，函数f（x）取得最大值，得到sinα-2cosα=$\sqrt{5}$，与sin²α+cos²α=1联立即可求出cosα的值．

解答 解：f（x）=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinx-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosx）=$\sqrt{5}$sin（x-θ）
∵x=α时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（α-θ）=1，即sinα-2cosα=$\sqrt{5}$，
又sin²α+cos²α=1，
联立得（2cosα+$\sqrt{5}$）²+cos²α=1，解得cosα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．