Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0、且a₂，a₅，a₁₄分别是等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意自然数n均有：

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1成立、求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）首先根据a₁和d，求出a₂、a₅、a₁₄再根据a₂、a₅、a₁₄是等比数列，求出数列{a_n}的通项公式；根据数列{a_n}求出b₂，b₃，即可求出数列{b_n}的通项公式；
（2）当n≥2时，根据a_n+1-a_n，求出数列{c_n}通项公式，但当n=1时，不符合上式，因此数列{c_n}是分段数列；然后根据通项公式即可求出结果．

解答：解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，且a₂、a₅、a₁₄成等比数列
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）即d=2∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1
又∵b₂=a₂=3，b₃=a₅=9、∴q=3，b₁=1，b_n=3^n-1
（2）∵

C1

b1

+

C2

b2

++

Cn

bn

=an+1①
∴

C1

b1

=a2即C₁=b₁a₂=3
又

C1

b1

+

C2

b2

++

Cn-1

bn-1

=an   (n≥2)②
①-②：

Cn

bn

=an+1-an=2
∴C_n=2•b_n=2•3^n-1（n≥2）
∴Cn=

3          (n=1) 2•3n-1   (n≥2)

∴

C1+C2+ C   3 ++C2010=3+2•31+2•32++2•32010-1 =3+2•(31+32+33++32009)=3+2• 3(1-32009) 1-3 =32010

点评：本题考查了等比数列的性质，以及等差数列和等比数列的通项公式的求法，对于复杂数列的前n项和求法我们一般先求出数列的通项公式，再依据数列的特点采取具体的方法．