Question

【题目】已知焦点在轴上的椭圆的一个顶点为，以右焦点为圆心以3为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线相交于不同的两点、．当时，求三角形面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用焦点到直线的距离等于半径和上顶点坐标可构造方程求得，进而得到椭圆方程；

（2）设为中点，由可知，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用韦达定理表示出，根据判别式可构造不等式求得的范围；利用弦长公式和点到直线距离公式求得弦长和三角形的高，代入面积公式可整理得到关于的函数，利用二次函数性质可确定取最大值时的取值，进而得到最大值.

（1）设椭圆方程为：.

椭圆焦点在轴上，且一个顶点为，则且，

则右焦点，，解得：，

椭圆方程为：.

（2）设，，为中点，

由得：，

，解得：…①

则，，

，，

，

，，即，

，代入①中得：，解得：，

由得：，的取值范围为.

，

原点到直线的距离，

，

，当时，取得最大值.