Question

已知函数f(x)=

1-2x x-2

的定义域是M，函数g（x）=lg[-x²+（a+1）x-a]的定义域是N．
（1）设U=R，a=2时，求M∩（C_UN）；
（2）当M∪（C_UN）=U时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先由

1-2x

x-2

≥0，得集合M=[

1

2

，2)（1）当a=2时，-（x-2）（x-1）＞0，得N=（1，2）再进行集合运算．
（2）根据题意，N={x|（x-a）（x-1）＜0}，由M∩（C_UN）=U，得N⊆M．分两种情况讨论一是N≠∅时；二是非空集时，再按a＜1和a＞1求解．

解答：解：由

1-2x

x-2

≥0，得M=[

1

2

，2)；
（1）当a=2时，-（x-2）（x-1）＞0，得N=（1，2），所以M∩(CUN)=[

1

2

，1]．
（2）根据题意，N={x|（x-a）（x-1）＜0}，由M∩（C_UN）=U，得N⊆M．
由N≠∅，得a≠1．
当a＜1时，N=（a，1）⊆M，得a≥

1

2

，即

1

2

≤a＜1；
当a＞1时，N=（1，a）⊆M，得a≤2，即1＜a≤2；
综上，取值范围为[

1

2

，1)∪(1，2]．

点评：本题主要通过定义域的求解和应用来考查分式不等式，一元二次不等式的解法和集合间的关系及其运算，集合运算时，要注意空集的情况．