Question

13．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=2米，AD=1米．
（1）设BM=x（单位：米）．写出花坛AMPN的面积为S关于x的函数关系式S=f（x）；
（2）判断S=f（x）的单调性，并用单调性定义证明，求当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最小？

Answer 1

分析 （1）由三角形相似得到AN与x的关系，然后直接代入矩形面积公式，求出S=f（x）即可；
（2）由函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$+4，x∈[1，3]，的单调性可求得结论．

解答 解：（1）花坛AMPN的面积为S=f（x），
由 $\frac{x}{2+x}$=$\frac{1}{AN}$，∴AN=$\frac{2+x}{x}$，
∴f（x）=$\frac{{（2+x）}^{2}}{x}$（x＞0）．
（2）由f（x）=$\frac{{（2+x）}^{2}}{x}$（x＞0），
则f（x）=x+$\frac{4}{x}$+4≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$+4=8，
当且仅当x=2时“=”成立，
∴f（x）_min=f（2）=8，
即当AM=4米，AN=2米时，花坛AMPN面积最小为8平方米．

点评 本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了不等式的解法，考查了函数y=x+$\frac{k}{x}$（k＞0）的单调性，是中档题．