Question

3．某同学对函数$f（x）=\frac{sinx}{x}$进行研究后，得出以下五个结论：
①函数y=f（x）的图象是轴对称图形；
②函数y=f（x）对任意定义域中x值，恒有|f（x）|＜1成立；
③函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；
④当常数k满足k≠0时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．
其中所有正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性判断①，根据y=sinx与y=x的图象关系判断②，令f（x）=0求出零点，结合定义域即可判断③，利用函数图象判断④．

解答 解：对于①，f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
∵f（-x）=$\frac{sin（-x）}{-x}$=$\frac{sinx}{x}=f（x）$，∴f（x）是偶函数，
∴f（x）的图象关于y轴对称，故①正确；
对于②，∵（sinx）′|_x=0=cos0=1，
∴y=sinx在（0，0）处的切线为y=x，
∴|sinx|＜|x|（x≠0），
∴|f（x）|=$|\frac{sinx}{x}|$＜1，故②正确；
对于③，令f（x）=0得sinx=0，∴x=kπ，k∈{k∈Z|k≠0}，
∴f（x）的图象与x轴的交点中，距离原点最近的两个交点距离为2π，其余相邻的交点距离为π，
故③错误；
对于④，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{sinx}{x}}\\{y=kx}\end{array}\right.$得kx²=sinx（k≠0，x≠0），
根据y=kx²与y=sinx的函数图象可知两图象必有1交点，
∴函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点，故④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了函数及其图象的性质，函数零点的判断，属于中档题．