Question

18．在半径为1，圆心角为$θ（{0＜θ≤\frac{π}{2}}）$的扇形中，求内接矩形面积的最大值．

Answer 1

分析 将图二可拆分成两个图一的形式，可以类比得到结论，图一角是θ，图二拆分后角是$\frac{θ}{2}$，故矩形面积的最大值为$\frac{1}{2}tan\frac{θ}{4}$，由此可得结论．

解答 解：图一，设∠COF=x，则CF=rsinx=sinx．
在△OCD中，$\frac{CD}{sin（θ-x）}=\frac{r}{sin（π-θ）}$，
∴CD=$\frac{rsin（θ-x）}{sinθ}$=$\frac{sin（θ-x）}{sinθ}$，
∴矩形面积S=$\frac{sin（θ-x）sinx}{sinθ}$≤$\frac{1-cosθ}{2sinθ}$=$\frac{1}{2}tan\frac{θ}{2}$．
故图一矩形面积的最大值为$\frac{1}{2}tan\frac{θ}{2}$．
图二可拆分成两个，
图一角是θ，图二拆分后角是$\frac{θ}{2}$，故根据图一得出的结论，可得矩形面积的最大值为$\frac{1}{2}tan\frac{θ}{4}$，
而图二时由两个这样的图形组成，
∴两个则为$tan\frac{θ}{4}$．
故图二矩形面积的最大值为$tan\frac{θ}{4}$．

点评 本题考查扇形内接矩形面积问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是发现两个图之间的联系，利用已有的结论进行解题，是中档题．