Question

7．位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距$20\sqrt{2}$海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，$AC=5\sqrt{13}$．在离观测站A的正南方某处E，$cos∠EAC=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$
（1）求cosθ；
（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系求得sin∠EAC的值，根据cosθ=cos（$\frac{3π}{4}$-∠EAC），利用两角差的余弦公式求得结果．
（2）利用余弦定理求得BC的值，而且BC这段距离该船行驶了20分钟，由此求得该船的行驶速度．

解答 解：（1）∵$cos∠EAC=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，∴sin∠EAC=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．（2分）
∴cosθ=cos（$\frac{3π}{4}$-∠EAC）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{2\sqrt{13}}{13}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3\sqrt{13}}{13}$=$\frac{\sqrt{26}}{26}$．（6分）
（2）利用余弦定理求得 BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosθ=925，∴BC=5$\sqrt{35}$．（10分）
又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5$\sqrt{35}$海里，
该船的行驶速度v=15$\sqrt{35}$（海里/小时）．（14分）

点评 本题主要考查利用余弦定理求三角形的边长，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．