Question

17．将边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B-AC-D．则四面体ABCD的内切球的半径为（　　）

• A． 1
• B． $2\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $2-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出V_D-ABC，再求出四面体ABCD的表面积S=S_△ADC+S_△ABC+S_△ABD+S_△BCD，由四面体ABCD的内切球的半径r=$\frac{3{V}_{D-ABC}}{S}$，能求出结果．

解答 解：∵边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B-AC-D，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，AC=2，
取AC中点O，连结DO，BO，则DO=BO=$\sqrt{2-1}$=1，
且DO⊥平面ABC，
∴V_D-ABC=$\frac{1}{3}×1×1$=$\frac{1}{3}$，
BD=$\sqrt{D{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AB=BC=AD=DC=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△ABD}={S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
${S}_{△ADC}={S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，
∴四面体ABCD的表面积S=S_△ADC+S_△ABC+S_△ABD+S_△BCD
=2+$\sqrt{3}$，
∴四面体ABCD的内切球的半径r=$\frac{3{V}_{D-ABC}}{S}$=$\frac{3×\frac{1}{3}}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查四面体的内切球半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意四面体内切球半径与其体积和表面积的关系式的合理应用．