Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，$-\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}sinx，cos2x$），x∈R，设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的最小正周期及单调区间；
（2）求f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积化函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期；
根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调增、单调减区间；
（2）根据x∈（0，$\frac{π}{2}$）时2x-$\frac{π}{6}$的取值范围，求出f（x）的最大值为1，且无最小值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，$-\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}sinx，cos2x$），x∈R，
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{ω}$=π；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z；
∴f（x）的单调增区间为[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z；
同理，f（x）的单调减区间为[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1；
令2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{π}{3}$，此时f（x）取得最大值1；
且f（x）无最小值．

点评 本题考查了平面向量的数量积以及正弦型函数的图象与性质的应用问题，是综合题．