Question

已知等差数列{a_n} 中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_n•a_n+1，数列{

1

bn

}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：T_n＜

1

3

；
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式和已知条件可得

a3=a1+2d=7 a1+a2+a3=3a1+3d=12

解出即可；
（2）利用（1）和“裂项求和”即可得出；
（3）利用等比数列的定义、分类讨论和整数的性质及不等式的性质即可得出．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由

a3=a1+2d=7 a1+a2+a3=3a1+3d=12

解得

a1=1 d=3

．∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2．
（2）∵a_n=3n-2，a_n+1=3n+1，∴b_n=a_n•a_n+1=（3n-2）（3n+1），
∴

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)．
∴Tn=

1

3

(1-

1

3n+1

)＜

1

3

．
（3）由（2）知，Tn=

n

3n+1

，∴T1=

1

4

，Tm=

m

3m+1

，
∵T₁，T_m，T_n成等比数列，∴(

m

3m+1

)2=

1

4

•

n

3n+1

，即

6m+1

m2

=

3n+4

n

．
当m=2时，

13

4

=

3n+4

n

，n=16，符合题意；
当m=3时，

19

9

=

3n+4

n

，n无正整数解；
当m=4时，

25

16

=

3n+4

n

，n无正整数解；
当m=5时，

31

25

=

3n+4

n

，n无正整数解；
当m=6时，

37

36

=

3n+4

n

，n无正整数解；
当m≥7时，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，则

6m+1

m2

＜1，而

3n+4

n

=3+

4

n

＞3，
所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列．
综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列．

点评：熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等比数列的定义、分类讨论和整数的性质及不等式的性质等是解题的关键．