Question

已知圆C：x²+y²－2x+4y－4=0,是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点.若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由

Answer 1

假设存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点.设l的方程为y=x+b,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

由OA⊥OB知，k_OA·k_OB=－1,   即=－1,∴y₁y₂=－x₁x₂.

由, 得2x²+2(b+1)x+b²+4b－4=0,

∴x₁+x₂=－(b+1),x₁·x₂=+2b－2,

y₁y₂=(x₁+b)(x₂+b)=x₁x₂+b(x₁+x₂)+b²=+2b－2－b(b+1)+b²=+b－2

∵y₁y₂=－x₁x₂       ∴+b－2=－(+2b－2)

即b²+3b－4=0.  ∴b=－4或b=1.

又Δ=4(b+1)²－8(b²+4b－4)=－4b²－24b+36=－4(b²+6b－9)

当b=－4时，Δ=－4×(16－24－9)>0;

当b=1时，Δ=－4×(1+6－9)>0

故存在这样的直线l,它的方程是y=x－4或y=x+1,即x－y－4=0或x－y+1=0.

解析:

同答案