Question

19．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足$|{\overrightarrow{{F_{1}}Q}}$|=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足$\overrightarrow{PT}•\overrightarrow{T{F_2}}$=0，$|{\overrightarrow{T{F_2}}}$|≠0．
（1）当a=5，b=3时，用点P的横坐标x表示$|{\overrightarrow{{F_1}P}}$|；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=b²？若存在，求出∠F₁MF₂的正切值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设点P的坐标为（x，y），a=5，b=3时，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，F₁（-4，0），由P（x，y）在椭圆上，可得：${y}^{2}=9（1-\frac{{x}^{2}}{25}）$．代入可得$|{\overrightarrow{{F_1}P}}$|=$\sqrt{（x+4）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{5}x+5）^{2}}$，由-5≤x≤5，可知：$\frac{4}{5}x+5$＞0，可得$|\overrightarrow{{F}_{1}P}|$．
（2）设点T的坐标为（x，y），分类讨论：当$|\overrightarrow{PT}|$=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上，当$|\overrightarrow{PT}|$≠0，且$|\overrightarrow{T{F}_{2}}|$≠0时，由$\overrightarrow{PT}•\overrightarrow{T{F_2}}$=0，可得$\overrightarrow{PT}$⊥$\overrightarrow{T{F}_{2}}$．又$|\overrightarrow{PQ}|$=$|\overrightarrow{P{F}_{2}}|$，可得T为线段F₂Q的中点．在△QF₁F₂中，|OT|=$\frac{1}{2}$|F₁Q|=a，即可得出．
（3）C上存在点M（x₀，y₀）使S=b²的充要条件是$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}={a}^{2}}\\{\frac{1}{2}•2c•|{y}_{0}|={b}^{2}}\end{array}\right.$，可得|y₀|≤a，|y₀|=$\frac{{b}^{2}}{c}$，当$a≥\frac{{b}^{2}}{c}$时，存在点M，使S=b²；利用数量积运算性质与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）设点P的坐标为（x，y），a=5，b=3时，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=4，∴F₁（-4，0），由P（x，y）在椭圆上，∴${y}^{2}=9（1-\frac{{x}^{2}}{25}）$．
得$|{\overrightarrow{{F_1}P}}$|=$\sqrt{（x+4）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x+4）^{2}+9（1-\frac{{x}^{2}}{25}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{5}x+5）^{2}}$，∵-5≤x≤5，可知：$\frac{4}{5}x+5$＞0，∴$|\overrightarrow{{F}_{1}P}|$=$\frac{4}{5}x+5$．
（2）设点T的坐标为（x，y），
当$|\overrightarrow{PT}|$=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上，
当$|\overrightarrow{PT}|$≠0，且$|\overrightarrow{T{F}_{2}}|$≠0时，由$\overrightarrow{PT}•\overrightarrow{T{F_2}}$=0，可得$\overrightarrow{PT}$⊥$\overrightarrow{T{F}_{2}}$．
又$|\overrightarrow{PQ}|$=$|\overrightarrow{P{F}_{2}}|$，∴T为线段F₂Q的中点．
在△QF₁F₂中，|OT|=$\frac{1}{2}$|F₁Q|=a，∴x²+y²=a²．
综上所述，点T的轨迹C的方程是：x²+y²=a²．
（3）C上存在点M（x₀，y₀）使S=b²的充要条件是$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}={a}^{2}}\\{\frac{1}{2}•2c•|{y}_{0}|={b}^{2}}\end{array}\right.$，
可得|y₀|≤a，|y₀|=$\frac{{b}^{2}}{c}$，当$a≥\frac{{b}^{2}}{c}$时，存在点M，使S=b²；
当$a＜\frac{{b}^{2}}{c}$时，不存在满足条件的点M．
当$a≥\frac{{b}^{2}}{c}$时，$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-c-x₀，-y₀），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（c-x₀，-y₀），
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=${x}_{0}^{2}$-c²+${y}_{0}^{2}$=a²-c²=b²，
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=$|\overrightarrow{M{F}_{1}}|$$|\overrightarrow{M{F}_{2}}|$cos∠F₁MF₂，
S=$\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{M{F}_{1}}|$$|\overrightarrow{M{F}_{2}}|$sin∠F₁MF₂=b²，
可得：tan∠F₁MF₂=2．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、数量积运算性质、线段的垂直平分线的性质、三角形面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．