Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，G为△F₁PF₂内一点，满足3$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，△F₁PF₂的内心为I，且有$\overrightarrow{IG}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$（其中λ为实数），则椭圆C的离心率e=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 在焦点△F₁PF₂中，设P（x₀，y₀），由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为$\overrightarrow{IG}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F₁PF₂的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率．

解答 解：设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
由3$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，可得G为△F₁PF₂的重心，
即有G点坐标为 G（$\frac{{x}_{0}}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$），
由$\overrightarrow{IG}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，可得IG∥x轴，
即有I的纵坐标为$\frac{{y}_{0}}{3}$，
在焦点△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
则S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y₀|，
又I为△F₁PF₂的内心，即有I的纵坐标即为内切圆半径，
内心I把△F₁PF₂分为三个底分别为△F₁PF₂的三边，
高为内切圆半径的小三角形，
S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|$\frac{{y}_{0}}{3}$|，
即为$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₀|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|$\frac{{y}_{0}}{3}$|，
即$\frac{1}{2}$×2c•|y₀|=$\frac{1}{2}$（2a+2c）|$\frac{{y}_{0}}{3}$|，
可得2c=a，
椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．