Question

1．如图：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，点A₁在底面ABC上的射影O恰是BC中点．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）当侧棱AA₁和底面成45°角时，求V${\;}_{A-B{B}_{1}{C}_{1}C}$；
（Ⅲ）若D为棱AA₁上一点，当$\frac{{A}_{1}D}{DA}$为何值时，BD⊥A₁C₁．

Answer 1

分析 （I）由A₁O⊥平面ABC得A₁O⊥BC，由三线合一得出AO⊥BC，故而BC⊥平面A₁OA，于是AA₁⊥BC；
（II）根据∠A₁AO=45°得出棱柱的高A₁O，则V${\;}_{A-BC{C}_{1}{B}_{1}}$=V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{2}{3}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$．
（III）过D作DE⊥AC于E，过A₁作A₁F⊥AC于F，连结BE，OF．通过证明AC⊥平面A₁OF确定F点为AC的四等分点，通过证明AC⊥平面BDE确定E为AC的中点，于是$\frac{{A}_{1}D}{DA}=\frac{EF}{AE}$．

解答 证明：（I）连结AO，
∵A₁O⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁O⊥BC，
∵△ABC是正三角形，O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
又AO?平面A₁AO，A₁O?平面A₁AO，AO∩A₁O=O，
∴BC⊥平面A₁AO，∵AA₁?平面A₁AO，
∴BC⊥A₁A．
（II）∵A₁O⊥平面ABC，
∴∠A₁AO为侧棱A₁A与底面ABC所成的角，
∴∠A₁AO=45°，
∵等边三角形ABC的边长为2$\sqrt{3}$，
∴AO=3，∴A₁O=3．
∴V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_△ABC•A₁O=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}×3$=9$\sqrt{3}$．
V${\;}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=3$\sqrt{3}$．
∴V${\;}_{A-BC{C}_{1}{B}_{1}}$=V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=6$\sqrt{3}$．
（III）$\frac{{A}_{1}D}{DA}=2$时，BD⊥A₁C₁，理由如下：
过D作DE⊥AC于E，过A₁作A₁F⊥AC于F，连结BE，OF．
∵A₁O⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴A₁O⊥AC，又A₁F⊥AC，AF?平面A₁OF，A₁O?平面A₁OF，A₁O∩A₁F=A₁，
∴AC⊥平面A₁OF，∵OF?平面A₁OF，
∴AC⊥OF，
∵△ABC是等边三角形，O是BC的中点，
∴F为线段AC的靠近C点的四等分点，即AF=$\frac{3}{4}AC$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∵BD⊥A₁C₁，AC∥A₁C₁，∴AC⊥BD．
又AC⊥DE，DE?平面BDE，BD?平面BDE，BD∩DE=D，
∴AC⊥平面BDE，∵BD?平面BDE，
∴AC⊥BE，
∵△ABC是等边三角形，∴E为AC的中点．即AE=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{3}$．
∵DE⊥AC，A₁F⊥AC，DE?平面AA₁C₁C，A₁F?平面AA₁C₁C，
∴DE∥A₁F，
∴$\frac{{A}_{1}D}{DA}=\frac{EF}{AE}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．