Question

6．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是边长为2的正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）若直线AC与平面PCD所成的角为30°，求三棱锥D-AEC的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BD交AC于O，连结OE，根据中位线定理得出PB∥OE，从而PB∥平面EAC；
（2）由面面垂直的性质得出CD⊥平面PAD，于是CD⊥AE，由等边三角形的性质得出AE⊥PD，于是AE⊥平面PCD；
（3）∠ACE为直线CD与平面PCD所成的角，根据AE的长计算CE，CD，于是V_D-AEC=V_A-CDE=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AE$．

解答 证明：（1）连结BD交AC于O，连结OE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴O是BD的中点，又E是PD的中点，
∴PB∥OE，
∵PB?平面EAC，OE?平面EAC，
∴PB∥平面EAC．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，∵AE?平面PAD，
∴CD⊥AE，
∵三角形PAD是等边三角形，E是PD的中点，
∴AE⊥PD，
又PD?平面PCD，CD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD．
解：（3）∵AE⊥平面PCD，
∴∠ACE为直线CD与平面PCD所成的角，即∠ACE=30°．
∵侧面PAD是边长为2的正三角形，
∴AE=$\sqrt{3}$，DE=1．
∴AC=2AE=2$\sqrt{3}$，CE=3．
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}-D{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴V_D-AEC=V_A-CDE=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．