Question

18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{2a-c}{b}$，且a+c=2．
（1）求角B；
（2）求边长b的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简表达式，求角B；个两角和与差的三角函数化简求解即可．
（2）利用余弦定理求边长b的最小值．推出b的表达式，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）在△ABC中，由已知$\frac{cosC}{cosB}=\frac{2sinA-sinC}{sinB}$，
即cosCsinB=（2sinA-sinC）cosB，
sin（B+C）=2sinAcosB，sinA=2sinAcosB，…4分
△ABC 中，sinA≠0，
故$cosB=\frac{1}{2}，B=\frac{π}{3}$． …6分．
（2）a+c=2，
由（1）$B=\frac{π}{3}$，因此b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac …9分
由已知b²=（a+c）²-3ac=4-3ac …10分
$≥4-3{（{\frac{a+c}{2}}）^2}=4-3=1$ …11分
故b 的最小值为1．…12分

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．