Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x2＜ex ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）=ex﹣ax，

所以f（0）=1，即A（0，1），

由f（x）=ex﹣ax，得f′（x）=ex﹣a．

又f′（0）=1﹣a=﹣1，得a=2．

所以f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．

令f′（x）=0，得x=ln2．当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

所以当x=ln2时，f（x）取得极小值，且极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4，f（x）无极大值．

（2）解：令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x．

由（1）得g′（x）=f（x）≥f（ln2）＞0，

故g（x）在R上单调递增，又g（0）=1＞0，

因此，当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，

即x2＜ex．

【解析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求a的值及函数f（x）的极值；（2）构造函数g（x）=ex﹣x2 ， 求函数的导数，研究是的单调性和极值即可证明当x＞0时，x2＜ex ．