Question

设函数f(x)=x|x-1|+m,g(x)=lnx.

(1)当m=2时,求函数y=f(x)在[1,m]上的最大值.

(2)记函数p(x)=f(x)-g(x),若函数p(x)有零点,求m的取值范围.

Answer 1

 (1)当m=2,x∈[1,2]时,

f(x)=x·(x-1)+2=x²-x+2=+.

因为函数y=f(x)在[1,2]上单调递增,

所以f(x)_max=f(2)=4,即f(x)在[1,2]上的最大值为4.

(2)函数p(x)的定义域为(0,+∞),函数p(x)有零点,即方程f(x)-g(x)=x|x-1|-lnx+m=0有解,即m=lnx-x|x-1|有解,令h(x)=lnx-x|x-1|.

当x∈(0,1]时,h(x)=x²-x+lnx.

因为h′(x)=2x+-1≥2-1>0当且仅当2x=时取“=”,所以函数h(x)在(0,1]上是增函数,所以h(x)≤h(1)=0.

当x∈(1,+∞)时,h(x)=-x²+x+lnx.

因为h′(x)=-2x++1==

-<0,所以函数h(x)在(1,+∞)上是减函数,所以h(x)<h(1)=0,所以方程m=lnx-x|x-1|有解时,m≤0,即函数p(x)有零点时,m的取值范围为(-∞,0].