Question

已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为l．直线l：y=kx+b与抛物线交于B，C两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）当直线OB，OC的倾斜角之和为45°时，证明直线l过定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设抛物线方程为y²=2px，由抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为l，利用抛物线的定义，求出p，即可得到抛物线的方程；
（2）直线l：y=kx+b与抛物线联立，设直线OB，OC的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k₁，k₂，则α+β=45°，利用tan（α+β）=

k1+k2

1-k1k2

=tan45°=1，代入斜率，可得直线l的方程为y=kx+4k+4，即可得出直线l过定点．

解答： （1）解：设抛物线方程为y²=2px（p＞0
由抛物线的定义知|AF|=1+

p

2

，又|AF|=2…（2分）
所以p=2，所以抛物线 的方程为y²=4x…（4分）
（2）证明：设B（

y 2 1

4

，y₁），C（

y 2 2

4

，y₂）
联立

y2=4x y=kx+b

，整理得ky²-4y+4b=0（依题意k≠0），
y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=

4b

k

．…（6分）
设直线OB，OC的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k₁，k₂，则α+β=45°，
tan（α+β）=

k1+k2

1-k1k2

=tan45°=1，…（8分）
其中k₁=

y1

x1

=

4

y1

，k₂=

4

y2

，代入上式整理得y₁y₂-16-（y₁+y₂）=0
所以

4b

k

-16=

16

k

，即b=4k+4…（10分）
直线l的方程为y=kx+4k+4，整理得y-4=k（x+4），
所以直线l过定点（-4，4）…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．