Question

已知函数 f(x)=

log2x  (x＞0) 3x      (x≤0)

，直线y=a与函数f（x）的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是

（0，1]

．

Answer 1

分析：根据题意可得：当x＞0时，f（x）=log₂x；当x≤0时，函数f（x）=3^x，即可结合对数、指数函数的性质画出函数的图象，进而根据数形结合与转化化归的思想方法把方程有解问题转化为与直线y=a的交点问题，即可求出a的取值范围．

解答：解：因为函数 f(x)=

log2x  (x＞0) 3x      (x≤0)

，
所以当x＞0时，f（x）=log₂x；当x≤0时，函数f（x）=3^x，
所以根据对数、指数函数的图象可得函数f（x）的图象，如图所示：
因为函数与直线y=a有且仅有两个不同的交点，
所以结合图象可得：0＜a≤1．
故答案为：（0，1]．

点评：本题主要考查正弦函数的图象与有关性质，以及考查分类讨论、数形结合、转化化归的思想方法，考查学生的分析问题解决问题的能力，此题属于中档题．