Question

已知三棱锥P-ABC各侧棱长均为2

3

，三个顶角均为40°，M，N分别为PA，PC上的点，求△BMN周长的最小值．

Answer 1

分析：将三棱锥的侧面沿线段PB展开，并画出正三棱锥P-ABC侧面展开图，从而将问题转化为求顶角为120°等腰三角形的底边之长的问题，由此结合余弦定理，则不难得到本题答案．

解答：解：将三棱锥的侧面沿线段PB展开，
得到如下图右边的三个顶角为40°的等腰三角形拼成的五边形PBACB₁，
∵正三棱锥P-ABC中，∠APB=40°
∴五边形PBACB₁中∠BPB₁=40°×3=120°，
再将该五边形围成三棱角的侧面，得到左图的截面△AEF，
由此可得，右图中的线段BB₁即为△BMN周长的最小值，
∵△PBB₁中，PB=PB₁=2

3

，∠BPB₁=120°
∴BB₁=

PB2+PB12-2PB×PB1cos120°

=6
因此，△BMN周长的最小值为6．

点评：本题给出特殊三棱锥，求截面三角形周长的最小值．着重考查了棱锥的结构特征和余弦定理解三角形的知识，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点间的距离问题，是解答本题的关键．