Question

已知平面向量a=(,-1),b=(,).

(1)求证:a⊥b;

(2)若存在不同时为零的实数k和t,使向量x=a+(t²-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数关系式k=f(t);

(3)根据(2)的结论,讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.

Answer 1

(1)证明:∵a·b=(,-1)·(,)=×+(-1)×=-=0,∴a⊥b.

(2)解法一:∵x⊥y,∴x·y=0,

即［a+(t²-3)·b］·(-ka+tb)=0,

整理后得-ka²+［t-k(t²-3)］a·b+t(t²-3)·b²=0.

∵a·b=0,a²=()²+(-1)²=4,b²=()²+()²=1,

∴上式化为-4k+t(t²-3)=0.

∴k=t(t²-3).

解法二:x=a+(t²-3)b=(,-1)+(t²-3)·(,)

=(+)

=(),y=-ka+tb

=-k(,-1)+t(,)

=(-k+,k+t)

=().

∵x⊥y,∴x·y=0.

∴=(t²+2-3)·(t-2k)+(t²-2-3)·(2k+t)=0.

∴t(t²+2-3)-2k·(t²+2-3)+2k(t²-2-3)+t(t²-2-3)=0.

∴k(2t²-4-6-2t²-12+6)+t³+2t-3t+3t³-2t-9t=0.

∴-16k=-4t³+12t.

∴k=t(t²-3).

∴k=f(t)=t(t²-3).

(3)解:讨论方程t(t²-3)-k=0的解的情况,其实就是利用曲线f(t)= t(t²-3)的形状及有关性质(极值问题,单调性问题等)与曲线y=k(常量函数)的交点个数问题.

利用导数知识可以求出f′(t)=·(3t²-3)=(t²-1)=(t+1)(t-1).

令f′(t)=0,解得t₁=-1,t₂=1.当t变化时,f′(t)、f(t)的变化情况如下表:

T	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
f′(t)	+	0	-	0	+
f(t)	?	极大值	?	极小值	?

当t=-1时,f(t)有极大值,f(t)_极大值=;

当t=1时,f(t)有极小值,f(t)_极小值=-.

而f(t)=t(t²-3)=0时,得t(t²-3)=0,

∴t=0,t=±.

而t=±1是函数f(t)的两个拐点,f(t)是奇函数,所以f(t)的图象大致如下图所示:

于是当k＞或k＜-时,直线y=k与曲线y=f(t)仅有一个交点,则方程有一解;

当k=或k=-时,直线与曲线有两个交点,则方程有两个解;

当k=0时,直线y=k与曲线y=f(t)有三个交点,但已知条件k与t不能同时为0,所以此时也只有两解;

当-＜k＜0或0＜k＜时,直线y=k与曲线y=f(t)有三个交点,则方程有三个解.

综上所述,当k＞或k＜-时,方程f(t)-k=0有一解;当k=±时,方程f(t)-k=0有两解;当k=0时,方程f(t)-k=0有两解;当-＜k＜0或0＜k＜时,方程f(t)-k=0有三解.