Question

已知函数f（x）=log_a（a-a^x）  （a＞1）
（1）求f（x）的定义域、值域．
（2）解不等式f^-1（x²-2）＞f（x）．

Answer 1

分析：（1）对数的真数大于0，可得函数的定义域，然后求出值域．
（2）先求反函数，然后化简不等式，利用函数单调性解出x的范围即可．

解答：解：（1）a-a^x＞0可得a^x＜a，又a＞1，∴x＜1．
∴f（x）的定义域为（-∞，1）．
又由log_a（a-a^x）＜log_aa=1，
∴f（x）＜1．∴f（x）的值域为（-∞，1）．
（2）f（x）=log_aa+log_a（1-x）=1+log_a（1-x）
f（x）-1=log_a（1-x）  a^f（x）-1=1-x  x=1-a^f（x）-1
所以f^-1（x）=1-a^x-1f^-1（x²-2）=1-ax2-3＞1+log_a（1-x）
即ax2-1=y₂＜log_a

1

1-x

=y₁把y₂代入y₁，有aax2-1=

1

1-x

解得x=0，因为f^-1（x）的递减程度小于y₁的递减程度，
所以在x＞0时，都满足f^-1（x²-2）＞f（x）．所以解为x＞0

点评：本题考查对数函数的定义域和值域，反函数的知识，计算量大，容易出错，是中档题．