Question

20．已知数列{a_n}各项都是正数，且$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+3n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{{2}^{n}•{a}_{n}}{n+1}$（n∈N^*）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）求出n=1的首项，将n换为n-1相减可得数列{a_n}的通项公式；
（2）化简b_n=4（n+1）•2ⁿ，再由错位相减法，可得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）当n=1时，$\sqrt{{a}_{1}}$=1+3，
即有a₁=2，
当n＞1时，$\sqrt{{a}_{n}}$=（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$）-（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n-1}}$）
=n²+3n-（n-1）²-3（n-1）=2n+2，
则有a_n=（2n+2）²，
对n=1也成立．
则有a_n=（2n+2）²；
（2）令b_n=$\frac{{2}^{n}•{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{{2}^{n}•4（n+1）^{2}}{n+1}$
=4（n+1）•2ⁿ，
即有前n项和S_n=4（2•2+3•4+4•8+…+（n+1）•2ⁿ），
2S_n=4（2•4+3•8+4•16+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹），
两式相减可得-S_n=4（4+4+8+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹）
=4（4+$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ⁺¹）
=-n•2ⁿ⁺³，
则有S_n=n•2ⁿ⁺³．

点评 本题主要考查数列的通项的求法和求和的方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．