Question

已知F₁，F₂分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（2，

3

）在直线x=

a2

b

上，线段PF₁的垂直平分线经过点F₂．直线y=kx+m与椭圆E交于不同的两点A，B，且椭圆E上存在点M，使

OA

+

OB

=λ

OM

，其中O是坐标原点，λ是实数．
（1）求λ的取值范围；
（2）当λ取何值时，△ABO的面积最大？最大面积等于多少？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据题意得

b2 a =2 |F1F2|2=(2c)2=|PF2|2=(2-c)2+3 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆E的方程，由

y=kx+m x2+2y2=2

，得 （1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能求出实数λ的取值范围．
（2）当λ=0时，m=0，此时A，B，O三点在一条直线上，不构成△ABO，为使△ABO的面积最大，λ≠0，利用椭圆弦长公式和点到直线的距离公式求出△AOB的面积S=

1

2

|AB|•d=

2 |m| 1+2k2-m2

1+2k2

，由此求出λ=±

2

时，△ABO的面积最大面积为

2

2

．

解答： 解：（1）设椭圆E的半焦距为c，根据题意得：

b2 a =2 |F1F2|2=(2c)2=|PF2|2=(2-c)2+3 a2=b2+c2

，
解得a=

2

，b=1，c=1，
∴椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1，
由

y=kx+m x2+2y2=2

，得 （1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
根据已知得关于x的方程（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0有两个不相等的实数根，
化简，得1+2k²＞m²，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2

，
y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+2k2

，
①当λ=0时，点A，B关于原点对称，m=0，满足题意；
②当λ≠0时，点A，B关于原点不对称，m≠0，
由

OA

+

OB

=λ

OM

，得

xM= 1 λ (x1+x2) yM= 1 λ (y1+y2)

，即

xM= -4km λ(1+2k2) yM= 2m λ(1+2k2)

，
∵M在椭圆E是，
∴

1

2

[

-4km

λ(1+2k2)

]²+[

2m

λ(1+2k2)

]²=1，
化简，得4m²=λ²（1+2k²），
∵1+2k²＞m²，∴4m²＞λ²m²
∵m≠0，∴λ²＜4，即-2＜λ＜2，且λ≠0，
综合①②两种情况，得实数λ的取值范围是（-2，2）．
（2）当λ=0时，m=0，此时A，B，O三点在一条直线上，不构成△ABO，
为使△ABO的面积最大，λ≠0，
∵

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2

，
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

，
=

2 2 1+k2 • 1+2k2-m2

1+2k2

，
∵原点O到直线y=kx+m的距离d=

|m|

1+k2

，
∴△AOB的面积S=

1

2

|AB|•d=

2 |m| 1+2k2-m2

1+2k2

，
∵4m²=λ²（1+2k²），λ≠0，∴1+2k2=

4m2

λ2

，
∴S=

2 |m| 4m2 λ2 -m2

4m2 λ2

=

2 λ2 4 λ2 -1

4

=

2 • 4λ2-λ4

4

=

2

4

λ2(4-λ2)

，
∵

λ2(4-λ2)

≤

λ2+4-λ2

2

=2，
∴S≤

2

2

，当且仅当λ=±

2

时，等号成立，
∴λ=±

2

时，△ABO的面积最大，最大面积为

2

2

．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要注意椭圆弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．