Question

已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线x²=2px（p＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥y轴，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  5 +1

  2

• B、

  2

  +1
• C、

  3

  +1
• D、

  2 2 +1

  2

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥y轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b²=c²-a²联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．

解答： 解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c
∵A是它们的一个公共点，且AF垂直y轴
设A点的横坐标大于0
∴|AF|=p，∴A（p，

p

2

）
∵点A在双曲线上
∴

p2

4a2

-

p2

b2

=1
∵p=2c，b²=c²-a²
∴化简得：c⁴-6c²a²+a⁴=0
∴e⁴-6e²+1=0
∵e²＞1
∴e²=3+2

2

，
∴e=1+

2

故选：B．

点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．