Question

已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=

2

，则该三棱锥外接球的表面积等于

4π

．

Answer 1

分析：根据题意，证出BC⊥平面SAB，可得BC⊥SB，得Rt△BSC的中线OB=

1

2

SC，同理得到OA=

1

2

SC，因此O是三棱锥S-ABC的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出SC=2，得外接球半径R=1，从而得到所求外接球的表面积．

解答：解：取SC的中点O，连结OA、OB
∵SA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴SA⊥AC，可得Rt△ASC中，中线OA=

1

2

SC
又∵SA⊥BC，AB⊥BC，SA、AB是平面SAB内的相交直线
∴BC⊥平面SAB，可得BC⊥SB
因此Rt△BSC中，中线OB=

1

2

SC
∴O是三棱锥S-ABC的外接球心，
∵Rt△SCA中，AC=

AB2+BC2

=

3

，SA=1
∴SC=

AC2+SA2

=2，可得外接球半径R=

1

2

SC=1
因此，外接球的表面积S=4πR²=4π
故答案为：4π

点评：本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．