Question

14．已知圆x²+（y-2）²=1，P（x，y）为圆上一点，求：
（1）$\frac{y}{x}$的范围；
（2）x+2y的范围；
（3）x²+y²的范围．

Answer 1

分析 （1）设t=$\frac{y}{x}$，则y=tx，代入x²+（y-2）²=1，利用判别式，即可求出）$\frac{y}{x}$的范围；
（2）令b=2x+y，整理，得2x+y-b=0，利用点到直线的距离小于等于半径，即可求出x+2y的范围；
（3）x²+y²的几何意义是（x，y）与原点的距离的平方，即可求出x²+y²的范围．

解答 解：（1）设t=$\frac{y}{x}$，则y=tx，代入x²+（y-2）²=1，
可得（1+t²）x²-4tx+3=0，
∴△=16t²-12（1+t²）≥0，
∴t≤-$\sqrt{3}$或t≥$\sqrt{3}$；
（2）令b=2x+y，整理，得2x+y-b=0，
由1≥$\frac{|1-b|}{\sqrt{5}}$，解得1-$\sqrt{5}$≤b≤1+$\sqrt{5}$，
∴x+2y的范围是（1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）；
（3）x²+y²的几何意义是（x，y）与原点的距离的平方，圆x²+（y-2）²=1的圆心为（0，2），半径为1，
∴x²+y²的范围是[1，9]．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．