Question

19．已知x，y满足x²+y²-6x-8y+24≤0，求：
（1）z=x+2y的最大值与最小值；
（2）z=$\frac{y}{x}$的最大值与最小值；
（3）z=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-2x}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）x=z-2y，代入x²+y²-6x-8y+24=0，利用△=（4z-4）²-20（z²-6z+24）≥0，可求z=x+2y的最大值与最小值；
（2）z=$\frac{y}{x}$，则y=zx，代入x²+y²-6x-8y+24=0，利用△=（8z+6）²-96（1+z²）≥0，可得z=$\frac{y}{x}$的最大值与最小值；
（3）x²+y²-6x-8y+24=0，可化为（x-3）²+（y-4）²=49，圆心为（3，4），半径为7．z=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-2x}$，表示（x，y）与（1，0）的距离，即可求得z=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-2x}$的最小值．

解答 解：（1）x=z-2y，代入x²+y²-6x-8y+24=0，可得5y²-（4z-4）y+z²-6z+24=0，
∴△=（4z-4）²-20（z²-6z+24）≥0，
∴z²-22z+116≤0，
∴11-$\sqrt{5}$≤z≤11+$\sqrt{5}$，
∴z=x+2y的最大值是11+$\sqrt{5}$，最小值是11-$\sqrt{5}$；
（2）z=$\frac{y}{x}$，则y=zx，代入x²+y²-6x-8y+24=0，可得（1+z²）x²-（8z+6）x+24=0，
∴△=（8z+6）²-96（1+z²）≥0，
∴$\frac{6-\sqrt{6}}{4}$≤z≤$\frac{6+\sqrt{6}}{4}$，
∴z=$\frac{y}{x}$的最大值是$\frac{6+\sqrt{6}}{4}$，最小值是$\frac{6-\sqrt{6}}{4}$；
（3）x²+y²-6x-8y+24=0，可化为（x-3）²+（y-4）²=49，圆心为（3，4），半径为7．
z=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-2x}$，表示（x，y）与（1，0）的距离，（1，0）与圆心（3，4）的距离为2$\sqrt{5}$，
∴z=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-2x}$的最小值是7-2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查判别式的运用，考查学生解不等式的能力，属于中档题．