Question

11．设函数f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-x^-1），其中a＞0且a≠1．
（1）求f（x）及其单调性和奇偶性；
（2）当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0恒成立，求m的取值范围；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令t=log_ax，则x=a^t，用换元法求出f（x）的解析式，进而分析函数的单调性和奇偶性．
（2）将已知不等式转化为f（1-m）＜f（m²-1），利用单调性进行求解；
（2）由（1）中的单调性可将f（x-4）的值恒为负数转化为f（2）-4≤0，解不等式即可．

解答 解：（1）令t=log_ax，则x=a^t，
则函数等价为f（t）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^t-a^-t），
即f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），
则f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-a^x）=-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）=-f（x），则函数为奇函数，
若a＞1，则$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，a^x-a^-x为增函数，则函数f（x）为增函数，
若0＜a＜1，则$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，a^x-a^-x为减函数，则函数f（x）为增函数；
综上f（x）恒为增函数．
（2）当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0恒成立，
则f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∵函数f（x）为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜{m}^{2}-1＜1}\\{1-m＜{m}^{2}-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜2}\\{0＜{m}^{2}＜2}\\{{m}^{2}+m-2＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜2}\\{0＜m＜\sqrt{2}或-\sqrt{2}＜m＜0}\\{m＞1或m＜-2}\end{array}\right.$，
即1＜m＜$\sqrt{2}$，
（3）由（1）可知，f（x）为增函数，
则要使x∈（-∞，2），f（x）-4的值恒为负数，
只要f（2）-4＜0即可，即f（2）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{2}-{a}^{-2}）$=$\frac{a}{{a}^{2}-1}\frac{{a}^{4}-1}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}+1}{a}$＜4，又a＞0
解得$2-\sqrt{3}＜a＜2+\sqrt{3}$
又a≠1，可得符合条件的a的取值范围是（2-$\sqrt{3}$，1）∪（1，2+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，考查函数恒成立问题，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．