Question

9．已知cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{3}{5}$，$\frac{7π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，求$\frac{sin2x+sin2xtanx}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sin（x+$\frac{π}{4}$）的值，可得tan（x+$\frac{π}{4}$）的值，再利用两角和差的三角公式、诱导公式求得$\frac{sin2x+sin2xtanx}{1-tanx}$的值．

解答 解：∵$\frac{7π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{5π}{6}$，2π），再结合cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{3}{5}$＞0，可得x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{2}$，2π），
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（x+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{4}{5}$，∴tan（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{sin2x+sin2xtanx}{1-tanx}$=sin2x•$\frac{1+tanx}{1-tanx}$=-cos（2x+$\frac{π}{2}$）•tan（x+$\frac{π}{4}$）=-（2${cos}^{2}（x+\frac{π}{4}）$-1）×（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{7}{25}$×（-$\frac{4}{3}$）=-$\frac{28}{75}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．