Question

7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=-2x上，求3sinθ+cosθ的值．

Answer 1

分析 由题意可得，θ的终边在第二象限，或角θ的终边在第四象限．利用任意角的三角函数的定义，分类讨论，求得sinθ和cosθ的值，可得3sinθ+cosθ的值．

解答 解：根据角θ的终边在直线y=-2x上，可得角θ的终边在第二象限，或角θ的终边在第四象限．
当角θ的终边在第二象限时，在它的终边上任意取一点P（1，-2），则x=-1，y=2，r=|OP|=$\sqrt{5}$，
此时，cosθ=$\frac{x}{r}$=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinθ=$\frac{y}{r}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，3sinθ+cosθ=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{5}$．
当角θ的终边在第四象限时，在它的终边上任意取一点P（-1，2），则x=1，y=-2，r=|OP|=$\sqrt{5}$，
此时，cosθ=$\frac{x}{r}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinθ=$\frac{y}{r}$=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，3sinθ+cosθ=-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$=-$\sqrt{5}$．
综上可得，3sinθ+cosθ=±$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．