Question

8．等差数列{a_n}中，a₁²+a₃²=3，求a₃+a₄+a₅的最大值为$\frac{3\sqrt{30}}{2}$．

Answer 1

分析 把已知等式用a₄和公差d表示，化为关于d的一元二次方程后由判别式大于等于求得a₄的最大值，结合等差数列的性质得答案．

解答 解：由a₁²+a₃²=3，得（a₄-3d）²+（a₄-d）²=3
（a4-3d）2+（a4-d）2=2，
化为：5d²-4a₄d+a₄²-1.5=0，
由判别式△≥0，得：16a₄²-20（a₄²-1.5）≥0，
即-$\frac{\sqrt{30}}{2}$≤a₄≤$\frac{\sqrt{30}}{2}$，
∴a₃+a₄+a₅的最大值为3a₄=$\frac{3\sqrt{30}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{30}}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的性质，训练了利用二次方程的判别式求最值，是中档题．