Question

13．设复数z=1+i（i为虚数单位），若1，$\frac{1}{z}$对应的向量分别为$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，则向量$\overrightarrow{AB}$的模为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由z求出$\frac{1}{z}$，结合已知得到$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$对应的复数，进一步求得向量$\overrightarrow{AB}$对应的复数，则向量$\overrightarrow{AB}$的模可求．

解答 解：∵z=1+i，∴$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{（1+i）（1-i）}=\frac{1-i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$，
又$\overrightarrow{OA}$=1，$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}-\frac{i}{2}-1=-\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$，
则$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了向量模的求法，是基础的计算题．