Question

7．从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆反射后经过另一个焦点，若任意一对从焦点发出的入射线与反射线都不垂直，则椭圆的离心率的范围是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 通过分析可知△F₁PF₂中∠F₁BF₂是锐角，计算即得结论．

解答 解：设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点是F₁（-c，0），F₂（c，0），
从F₁发出的光线经椭圆上的点P反射经F₂，
当点P自长轴端点A运动至短轴端点B时∠F₁PF₂由0°变到最大，
若PF₁，PF₂都不垂直，则∠F₁BF₂是锐角，
∴c＜b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{1+（\frac{b}{c}）^{2}}}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．