Question

【题目】定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2 ， 且x1≠x2 ， 都有 ，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数 ，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数 在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： （或其它底在（0，1）上的对数函数）
（2）解：函数 在区间（0，+∞）上具有性质L．

证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2

则 = =

∵x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2，

∴（x1﹣x2）2＞0，2x1x2（x1+x2）＞0

即 ＞0，

∴

所以函数 在区间（0，+∞）上具有性质L

（3）解：任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2

则 = = =

∵x1、x2∈（0，1）且x1≠x2，

∴（x1﹣x2）2＞0，4x1x2（x1+x2）＞0

要使上式大于零，必须2﹣ax1x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，

即 ，

∴a≤1，

即实数a的取值范围为（﹣∞，1]

【解析】（1）写出的函数是下凹的函数即可；（2）函数 在区间（0，+∞）上具有性质L．根据定义，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
只需要证明 ＞0即可；（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2则 ＞0，只需要2﹣ax1x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，即 ，故可求实数a的取值范围．