Question

（本小题满分12分）已知直角的三边长,满足 

(1)已知均为正整数,且成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列,且,求满足不等式的所有的值;

(2)已知成等比数列,若数列满足,证明数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且是正整数.

 

Answer 1

【答案】

(1) 2、3、4;(2)参考解析

【解析】

试题分析：（1）已知直角三角形中三边是正整数，并且成等差数列.由此可得首项与公差的关系.从而写出三角形的面积的表达式.由于面积是从小到大排的，所以把公差.改成没关系.由于数列的前项的和的特点是每项是一项正一项负.所以相邻的两项用平方差公式化简.即可得一个等差数列的求和的式子. 由得,由于指数函数是爆炸性的变化，所以要符合该不等式的不是很多，再由.利用二项式定理展开即可得时，.所以只有2,3,4三种情况.

（2）；因为成等比数列.解直角三角形三边的关系可求得.所以可以写出的表达式.在递推一个式子.两式相加，再利用==.从而可得.从而即可得解答结论.再说明前三项符合即可.

试题解析：(1)设的公差为,则

设三角形的三边长为,面积,      2分

由得,

当时,,

经检验当时,,当时,

综上所述,满足不等式的所有的值为2、3、4         6分

(2)证明因为成等比数列,.

由于为直角三角形的三边长,知,,      8分

又,得,

于是

,则有.

故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形        10分

因为 ,

,由数学归纳法得：

由,同理可得,

故对于任意的都有是正整数          12分

考点：1.等差数列的中项公式.2.等比数列的中项公式.3.利用平方差公式局部求和.4.数学归纳法.5.数列递推思想.6.含根式的化简.