Question

已知m＞1，直线l：x-my-=0，椭圆C：+y²=1，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点．
（I）当直线l过右焦点F₂时，求直线l的方程；
（II）当直线l与椭圆C相离、相交时，求m的取值范围；
（III）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）解：因为直线l：x-my-=0，经过F₂（，0），
所以-=0，得m²=2，
又因为m＞1，所以m=，
故直线l的方程为x-y-1=0．
（II）由消去x得2y²+my+-1=0，
由△=m²-8（-1）=-m²+8＜0，得m＜-2，或m＞2，由△＞0得-2＜m＜2，
所以当直线与椭圆相离时m的取值范围是m＜-2，或m＞2；当直线与椭圆相交时m的取值范围是-2＜m＜2；
（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（II）知，△=m²-8（-1）=-m²+8＞0，得m²＜8，且有y₁+y₂=-，y₁y₂=．
由于F₁（-c，0），F₂（c，0），故O为F₁F₂的中点，
由，，可知G（，），H（，）
|GH|²=+，
设M是GH的中点，则M（，），
由题意可知2|MO|＜|GH|，即4[]＜+，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
而x₁x₂+y₁y₂=（my₁+）（my₂+）+y₁y₂=（m²+1）（-），
所以（-）＜0，即m²＜4，
又因为m＞1且△＞0，
所以1＜m＜2．
分析：（I）写出右焦点F₂的坐标，代入直线l的方程，即可求得m值，从而得到l的方程，注意m范围；
（II）直线与椭圆方程联立消去x，得y的二次方程，由△＜0得相离时m的范围，由△＞0得相交时m的范围；
（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．根据（II）由判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根据，，可知G（，），H（，），表示出|GH|²，设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x₁x₂+y₁y₂＜0把x₁x₂和y₁y₂的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．
点评：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．