Question

【题目】已知△ABC和△A1B1C1满足sinA=cosA1 ， sinB=cosB1 ， sinC=cosC1 ．
（1）求证：△ABC是钝角三角形，并求最大角的度数；
（2）求sin2A+sin2B+sin2C的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由对称性，不妨设A和B为锐角，则A= ﹣A1，B= ﹣B1，

所以：A+B=π﹣（A1+B1）=C1，

于是：cosC1=sinC=sin（A+B）=sinC1，即：tanC1=1，解得：C1=45°，

可得：A+B=45°，

所以：C=135°

所以：△ABC是钝角三角形，且最大角为135°

（2）解：由（1）可知，△ABC的三个角中有一个角为135°，设另两个角分别为α，45﹣α，

则：sin2A+sin2B+sin2C= sin2α+sin2（45﹣α）= ﹣ （cos2α+sin2α）= ﹣ sin（45°+2α），

故：sin2A+sin2B+sin2C的最小值为 ﹣

【解析】（1）由已知等式的对称性，不妨设A和B为锐角，可求A= ﹣A1 ， B= ﹣B1 ， 解得A+B=C1 ， 结合已知可得cosC1=sinC=sinC1 ， 解得C1=A+B=45°，从而可求C=135°，即可得解．（2）由（1）可知，△ABC的三个角中有一个角为135°，设另两个角分别为α，45﹣α，利用三角函数降幂公式可得sin2A+sin2B+sin2C= ﹣ sin（45°+2α），根据正弦函数的性质即可求得最小值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)，还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键．