Question

（2013•南京二模）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A=

3       5 0    -2

．
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）设向量β=

1    -1

，求A⁵β．

Answer 1

分析：（1）根据题意给出矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ-3）（λ+2），从而解出两个特征值分别为3和-2．再分别将3和-2回代到二元一次方程组，即可解出相应的特征向量．
（2）由（1）的结论得向量β是矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量，利用特征向量的定义与性质即可算出A⁵β的值．

解答：解：（1）矩阵A的特征多项式为f（λ）=

.

λ-3 -5 0 λ+2

.

=（λ-3）（λ+2）
令f（λ）=0，得λ=3或λ=-2
将λ=3代入二元一次方程组，得

0•x-5y=0 0•x+5y=0

，解之得y=0
∴矩阵A属于特征值3的特征向量为

1   0

将λ=-2代入二元一次方程组，得

-5x-5y=0 0•x+0•y=0

，取x=1得y=-1
∴矩阵A属于特征值-2的特征向量为

1   -1

；
（2）由（1）知，向量β是矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量
∴A⁵β=λ⁵β=-32

1   -1

=

32   -32

．

点评：本题给出二阶矩阵，求矩阵A的特征值和特征向量．着重考查了特征向量的定义、求法及其性质等知识，属于中档题．