Question

20．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x．
（Ⅰ）求f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由0≤x≤$\frac{π}{2}$求出2x+$\frac{π}{4}$的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x
=sin²x+2sinxcosx+cos²x+2cos²x
=1+sin2x+1+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，…（4分）
所以f（x）的最小正周期为T=π；…（6分）
（Ⅱ）由0≤x≤$\frac{π}{2}$得，
0≤2x≤π，
所以$\frac{π}{4}$≤2 x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$；…（8分）
根据正弦函数y=sinx的图象可知
当$x=\frac{π}{8}$时，f（x）有最大值为2+$\sqrt{2}$，…（11分）
当$x=\frac{π}{2}$时，f（x）有最小值为1．…（13分）

点评 本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．