Question

已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x²－10x的一个极值点．

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅲ)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，f(x)在(－1，1)内单调增加，在(1，3)内单调减少，在(3，＋∞)上单调增加，且当x＝1或x＝3时， 　　所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，极小值为f(3)＝32ln2－21 　　因为f(16)＝162－10×16＞16ln2－9＝f(1)f(e－2－1)＜－32＋11＝－21＜f(3) 　　所以在f(x)的三个单调区间(－1，1)，(1，3)，(3，＋∞)直线y＝b有y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)＜b＜f(1) 　　因此，b的取值范围为(32ln2－21，16ln2－9)．