Question

已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）=在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

证明　本题需要判断F（x1）-F（x2）= 的正负．只要通过已知条件判断f（x1）·f（x2），f（x2）-f（x1）的正负即可． 　　任取x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2 　　则-x1＞-x2＞0 　　因为y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0 　　∴　f（-x2）＜f（-x1）＜0 　　又y=f（x）是奇函数 　　于是f（-x2）=-f（x2），f（-x1）=-f（x1） 　　所以-f（x2）＜-f（x1）＜0 　　即f（x2）＞f（x1）＞0 　　因此F（x1）-F（x2）= 　　即F（x1）＞F（x2），所以F（x）=在（-∞，0）上是减函数．

提示：

证明函数的单调性的方法是：在给定区间上任取x1，x2且x1＜x2，再比较f（x1），f（x2）的大小，一般是作差比较．