Question

8．过抛物线x²=2py（p＞0）焦点F作倾斜角为30°的直线，与拋物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则$\frac{|AF|}{|FB|}$=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，求出A，B两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出$\frac{|AF|}{|FB|}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$=，即可得出结论．

解答 解：设直线l的方程为：x=$\sqrt{3}$（y-$\frac{p}{2}$），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由x=$\sqrt{3}$（y-$\frac{p}{2}$），代入x²=2py，可得12y²-20py+3p²=0，
∴y₁=$\frac{p}{6}$，y₂=$\frac{3p}{2}$，
从而，$\frac{|AF|}{|FB|}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义，得出$\frac{|AF|}{|FB|}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$是解题的关键．