Question

20．已知抛物线y=-x²+4x-3及其上两点A（0，-3），B（3，0），
（1）分别求抛物线在A，B两点处的切线方程；
（2）求由抛物线及其在A，B两点处的切线共同围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定抛物线在A，B两点处的切线的斜率，即可求抛物线在A，B两点处的切线方程；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=4x-3\\ y=-2x+6\end{array}\right.$得$x=\frac{3}{2}$，利用定积分求由抛物线及其在A，B两点处的切线共同围成的图形的面积．

解答 解：（1）因为y'=-2x+4，
所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为4和-2，
其切线方程分别为：y=4x-3和y=-2x+6
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=4x-3\\ y=-2x+6\end{array}\right.$得$x=\frac{3}{2}$
故$S=\int_0^{\frac{3}{2}}{（{4x-3+{x^2}-4x+3}）}dx+\int_{\frac{3}{2}}^3{（{-2x+6+{x^2}-4x+3}）}dx$
=$\frac{1}{3}{x^3}\left|\begin{array}{l}\frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right.+$$（{\frac{1}{3}{x^3}-3{x^2}+9x}）\left|\begin{array}{l}3\\ \frac{3}{2}\end{array}\right.$=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查导数的几何意义，考查定积分知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．