Question

（2010•南京三模）如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC⊥CD，E是AA₁上的一点．
（1）求证：CD⊥平面ACE；
（2）若平面CBE交DD₁于点F，求证：EF∥AD．

Answer 1

分析：（1）要证CD⊥ACE，只需证明CD垂直平面ACE内的两条相交直线AC与AA₁即可．
（2）平面CBE交DD₁于点F，证明EF∥AD，只需证明BC∥平面ADD₁A₁，EF∥BC，即可．

解答：证明：（1）因为直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，所以AA₁⊥平面ABCD，因为CD?平面ABCD，
所以AA₁⊥CD，因为AC⊥DC，
AC?平面AEC，A₁A∩AC=A，
所以CD⊥平面ACE
（2）因为AD∥BC，AD?平面ADD₁A₁，BC不在平面ADD₁A₁，所以BC∥平面ADD₁A₁，因为BC?平面BCE，
平面BCE∩平面ADD₁A₁=EF，所以EF∥BC，
因为AD∥BC，所以EF∥AD．

点评：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面垂直，直线与直线平行等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力．