Question

已知椭圆:的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称，并说明理由.

 

Answer 1

(1)；(2)对称.

【解析】

试题分析：(1)由圆方程可知圆心为，即，又因为离心率为，可得，根据椭圆中关系式，可求，椭圆方程即可写出；(2)由椭圆方程可知，将代入椭圆方程可得，可得，设直线，设，，然后和椭圆方程联立，消掉(或)得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理得出根与系数的关系，可得两直线的斜率.若直线是关于直线对称时两直线倾斜角互补，所以斜率互为相反数，把求得的两直线斜率相加若为0，则说明两直线对称，否则不对称.
试题解析：（1）由题意得, 由可得, 所以

所以椭圆的方程为. 4分

（2）由题意可得点

所以由题意可设直线,

设

由得

由题意可得,即且

6分

因为 8分

， 10分

所以直线关于直线对称 12分.

考点：1.椭圆的基础知识；2.直线与椭圆的位置关系；3.二次方程根与系数的关系.