Question

设f(x)=x3+lg(x+

x2+1

)，则对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的

 

条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一）

Answer 1

分析：已知函数f(x)=x3+lg(x+

x2+1

)，根据f（x）=-f（x）可知它是奇函数，然后由题意看命题“a+b≥0”与命题f（a）+f（b）≥0”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．

解答：解：∵f(x)=x3+lg(x+

x2+1

)，
∴f（-x）=-x³+lg（-x+

(-x)2+1

）=-（x³+lg(x+

x2+1

)）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
∵f′（x）=3x²+

lge

x+ x2+1

(1+

x

x2+1

)=3x²+lge（

1

x2+1

）＞0，
∴f（x）为增函数，
∵a+b≥0，?a≥-b，
∴f（a）≥f（-b），
∴f（a）≥-f（b），
∴f（a）+f（b）≥0，
反之也成立，
∴“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的充要条件，
故答案为充要条件．

点评：此题主要考查利用函数的导数判断函数的单调性，还考查了必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．