Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．

（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；

（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为 ？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

(1)利用题意证得AN∥EF，结合线面平行的判断定理可得AN∥平面MEC；

(2)建立空间直角坐标系可得，存在点P满足题意，其中 .

试题解析：

（I）CM与BN交于F，连接EF．

由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．

因为E是AB的中点，所以AN∥EF．

又EF平面MEC，AN平面MEC，所以AN∥平面MEC．

（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．

又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，

∴DN⊥面ABCD，

如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，

则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），

=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），

设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．

则，∴，令y=h，∴=（2h， h，），

又平面ADE的法向量=（0，0，1），

∴cos＜，＞===，解得h=，

∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为．